Zielformel:

$$\boxed{{\displaystyle T_{\text{Dreh}}=\frac{T_{\text{Tag}}}{\sin \phi }}}$$

Gültigkeitsbereich / Annahmen:

• Die Schwingungsebene ist (näherungsweise) ein Inertialsystem: Sie behält ihre Richtung im Raum bei, die Erde dreht sich darunter weg (Skript-Sprachgebrauch, Thema 8 §8.3).
• Ideale Aufhängung (kardanisch, zwangsfrei), Pendel lang genug, Beobachtungszeit lang genug, damit der Effekt sichtbar wird.
• Niveau der Argumentation: Komponentenzerlegung des Winkelgeschwindigkeitsvektors + zwei Grenzfall-Checks; die vollständige, strenge Herleitung benötigt die Corioliskraft im rotierenden Bezugssystem und liegt außerhalb des Prüfungsrahmens — das aktiv dazusagen.

Verwendete Formeln

Formel	Name	Formelnheft
$\omega ={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\phi }{\mathrm{\Delta }t}}=2\pi f$	Winkelgeschwindigkeit	✅ S. 2 („Winkelgeschwindigkeit")
$f={\displaystyle \frac{1}{T}}$	Frequenz	✅ S. 2 („Frequenz")
${\mathrm{\Omega }}_{\perp }=\mathrm{\Omega }\sin \phi$	Vektorzerlegung in Komponenten	❌ Mathematik (rechtwinkliges Dreieck), nicht im Formelnheft — Skizze selbst anfertigen
$T_{\text{Dreh}}={\displaystyle \frac{T_{\text{Tag}}}{\sin \phi }}$	Foucault-Drehperiode	❌ nicht im Formelnheft — genau das Ergebnis dieser Herleitung

Herleitung (Schritt für Schritt)

1. Winkelgeschwindigkeitsvektor $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}$ der Erdrotation aufschreiben (die Erde ist ein rotierendes System: $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}$ zeigt entlang der Rotationsachse zum Himmelsnordpol; den Betrag liefert „eine Umdrehung pro Tag", mit $\omega =2\pi f$ und $f=1/T$ von S. 2):$$\mathrm{\Omega }=\frac{2\pi }{T_{\text{Tag}}}$$
2. $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}$ am Ort der Breite $\phi$ in lokale Komponenten zerlegen (Geometrie: die lokale Vertikale (Lotrichtung) schließt mit der Rotationsachse den Winkel $90°-\phi$ ein — gleichwertig: die Achse steht um den Höhenwinkel $\phi$ über dem Horizont (Polarstern-Höhe = Breite). Komponenten im rechtwinkligen Dreieck):$${\mathrm{\Omega }}_{\perp }=\mathrm{\Omega }\cos (90°-\phi )=\mathrm{\Omega }\sin \phi \text{(vertikal)},{\mathrm{\Omega }}_{\parallel }=\mathrm{\Omega }\cos \phi \text{(horizontal, nach Norden)}$$
3. Argument: Nur die Vertikalkomponente ${\mathrm{\Omega }}_{\perp }$ dreht die Schwingungsebene (der physikalische Kernschritt):
   • Die Schwingungsebene behält ihre Raumrichtung (Inertialsystem); „Drehung der Pendelebene" heißt: der Boden dreht sich unter ihr weg.
   • Eine Rotation um die lokale Vertikale (also ${\mathrm{\Omega }}_{\perp }$) dreht genau die Horizontalrichtungen des Bodens (Nord, Ost, …) um das Lot — exakt die Drehung, mit der die Pendelebene relativ zum Boden „im Kreis wandert".
   • Eine Rotation um eine horizontale Achse (also ${\mathrm{\Omega }}_{\parallel }$) verändert nur langsam die Raumrichtung des lokalen Lots (das „Oben-Unten" wird mitgeführt); die Pendelachse folgt durch Schwerkraft und Aufhängung dem Lot — sie ändert die Richtung der Pendelachse, dreht aber die Schwingungsebene nicht um das Lot.
   • Also bleibt als wirksame Drehrate der Pendelebene relativ zum Boden nur:
   $${\mathrm{\Omega }}_{\text{Dreh}}={\mathrm{\Omega }}_{\perp }=\mathrm{\Omega }\sin \phi$$
4. Von der Winkelgeschwindigkeit zurück zur Periode (erneut $T=2\pi /\omega$, angewandt auf ${\mathrm{\Omega }}_{\text{Dreh}}$):$$T_{\text{Dreh}}=\frac{2\pi }{{\mathrm{\Omega }}_{\text{Dreh}}}=\frac{2\pi }{\mathrm{\Omega }\sin \phi }=\frac{2\pi }{\frac{2\pi }{T_{\text{Tag}}}\sin \phi }⟹\boxed{{\displaystyle T_{\text{Dreh}}=\frac{T_{\text{Tag}}}{\sin \phi }}}$$
5. Zwei Grenzfall-Checks (prüfen, ob die Komponentenargumentation das physikalisch zwingende Ergebnis liefert):
   • Pol $\phi =90°$: $\sin 90°=1\Rightarrow T_{\text{Dreh}}=T_{\text{Tag}}$. Zwingend: Am Pol ist die Rotationsachse genau die lokale Vertikale, die Erde dreht sich direkt unter dem Pendel weg — die Ebene macht in einem Tag eine volle Drehung relativ zum Boden. ✓
   • Äquator $\phi =0°$: $\sin 0°=0\Rightarrow T_{\text{Dreh}}\to \mathrm{\infty }$. Zwingend: Am Äquator liegt die Achse vollständig horizontal (${\mathrm{\Omega }}_{\perp }=0$), der Boden dreht sich nicht um das Lot — die Ebene dreht sich gar nicht. ✓
6. Niveau der Argumentation offenlegen (Bonuspunkt in der Prüfung): Die Komponentenzerlegung liefert das richtige Ergebnis, aber „die Horizontalkomponente dreht die Ebene nicht" ist ein Plausibilitätsargument, kein strenger Beweis; streng rechnet man im mitrotierenden Bezugssystem mit der Corioliskraft und mittelt über die Schwingung — außerhalb des Prüfungsrahmens, gleiches Resultat.

Rechenbeispiele (Lehrer-Konvention ★)

• Wien $\phi \approx 48°$: $\sin 48°=\mathrm{0,743}$$$T_{\text{Dreh}}=\frac{24\text{h}}{\mathrm{0,743}}\approx 32,3\text{h}\approx 32\text{h}✓$$
• Pol (Süd-/Nordpol): $T_{\text{Dreh}}=T_{\text{Tag}}=24\text{h}$ (Lehrer-Konvention).
• Streng: $T_{\text{Tag}}$ ist der Sterntag (eine Erdumdrehung relativ zu den Fixsternen) $\approx 23$ h 56 min $=23,93$ h — dann Pol 23 h 56 min, Wien $\frac{23,93}{\mathrm{0,743}}\approx 32,2$ h. In der Prüfung zuerst 24 h / 32 h antworten, dann aktiv ergänzen: „streng genommen ein Sterntag".

Variablentabelle

Symbol	Bedeutung	SI-Einheit
$T_{\text{Dreh}}$	Periode einer vollen Drehung der Schwingungsebene relativ zum Boden	s (üblich: h)
$T_{\text{Tag}}$	Erdrotationsperiode: Lehrer-Konvention 24 h; streng Sterntag ≈ 23 h 56 min	s (üblich: h)
$\phi$	geographische Breite des Ortes	rad (üblich: °)
$\overrightarrow{\mathrm{\Omega }},\mathrm{\Omega }$	Winkelgeschwindigkeitsvektor der Erdrotation und sein Betrag ($\mathrm{\Omega }=2\pi /T_{\text{Tag}}\approx 7,3\cdot {10}^{-5}$ rad/s)	rad/s
${\mathrm{\Omega }}_{\perp }$	Komponente von $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}$ entlang der lokalen Vertikalen $=\mathrm{\Omega }\sin \phi$	rad/s
${\mathrm{\Omega }}_{\parallel }$	Komponente von $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}$ entlang der lokalen Horizontalen (Nord) $=\mathrm{\Omega }\cos \phi$	rad/s
${\mathrm{\Omega }}_{\text{Dreh}}$	wirksame Drehrate der Pendelebene relativ zum Boden	rad/s
$f$	Frequenz	Hz = 1/s

Verknüpfungen

• Thema 8 §8.3 — Skript-Fassung: Schwingungsebene als Inertialsystem, Wien 32 h, Südpol-24-h-Prüfungsfrage, „kein perfektes Inertialsystem, weil die Gravitation überall ist".
• H07 — dieselbe Drehscheibe „Periode ↔ Winkelgeschwindigkeit" über $\omega =2\pi /T$.
• Die Schwingungsdauer des Pendels (etwas anderes!) $T=2\pi \sqrt{l/g}$ steht im Formelnheft S. 3 („Fadenpendel") — nicht mit der Drehperiode $T_{\text{Dreh}}$ verwechseln.